Номер 5, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 5, страница 167.

Условие.

22.5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть из точки A к прямой l проведен перпендикуляр AH и две наклонные AB и AC. Длина перпендикуляра AH — это искомое расстояние от точки до прямой. Обозначим его как h.

Отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую l. По условию, их длины равны 5 см и 9 см. Пусть HB = 5 см и HC = 9 см. Это означает, что мы имеем два прямоугольных треугольника ▵AHB и ▵AHC с общим катетом AH.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников:

Для ▵AHB (прямой угол при H):
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$AB^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$

Для ▵AHC (прямой угол при H):
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
$AC^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$

Из полученных выражений видно, что $AC^2 > AB^2$, а значит, наклонная AC длиннее наклонной AB. По условию, разница в их длинах составляет 2 см, следовательно:
$AC = AB + 2$

Теперь составим систему уравнений. Выразим $h^2$ из первых двух уравнений и приравняем их:
$h^2 = AB^2 - 25$
$h^2 = AC^2 - 81$
$AB^2 - 25 = AC^2 - 81$

Подставим в это равенство выражение $AC = AB + 2$:
$AB^2 - 25 = (AB + 2)^2 - 81$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно AB:
$AB^2 - 25 = AB^2 + 4 \cdot AB + 4 - 81$
$AB^2 - 25 = AB^2 + 4 \cdot AB - 77$
$-25 = 4 \cdot AB - 77$
$77 - 25 = 4 \cdot AB$
$52 = 4 \cdot AB$
$AB = \frac{52}{4} = 13$ см.

Мы нашли длину меньшей наклонной. Теперь найдем искомое расстояние h, подставив значение AB в одно из ранних уравнений:
$h^2 = AB^2 - 25$
$h^2 = 13^2 - 25$
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.