Номер 6, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 168.

Условие.

22.6. Найдите площадь треугольника ABC, изображённого на рисунке 22.1.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку изображение с рисунком 22.1 не предоставлено, невозможно дать точный численный ответ для конкретного треугольника $ABC$. Однако, можно привести общие методы решения подобных задач, которые обычно предполагают, что треугольник изображен на клетчатой бумаге, и его площадь можно найти, определив координаты вершин.

Предположим, что вершины треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$.

Способ 1: Использование формулы площади по координатам вершин (формула шнурков)

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена напрямую по координатам его вершин с помощью следующей формулы:

$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

Для нахождения площади достаточно подставить координаты вершин в эту формулу и выполнить арифметические действия.

Способ 2: Метод достраивания до прямоугольника

Этот метод является наглядным и удобным при работе с фигурами на клетчатой бумаге.

1. Опишите вокруг треугольника $ABC$ прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны осям координат, а все вершины треугольника лежали на сторонах или внутри прямоугольника.
2. Найдите площадь этого прямоугольника ($S_{прям}$), умножив его длину на ширину.
3. Треугольник $ABC$ и несколько прямоугольных треугольников (обычно три) вместе образуют этот прямоугольник. Найдите площади этих "внешних" прямоугольных треугольников ($S_1, S_2, ...$). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
4. Вычтите из площади прямоугольника суммы площадей "внешних" треугольников. Оставшаяся площадь и будет искомой площадью треугольника $ABC$: $S_{ABC} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + ...)$.

Пример решения для гипотетического треугольника

Предположим, что на рисунке 22.1 были бы даны вершины с координатами: $A(2, 2)$, $B(9, 4)$ и $C(5, 8)$. Давайте найдем площадь этого треугольника, используя оба метода.

Решение способом 1 (по формуле):

Имеем координаты вершин: $A(2, 2)$, $B(9, 4)$, $C(5, 8)$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

$S = \frac{1}{2} |(2(4 - 8) + 9(8 - 2) + 5(2 - 4))|$

$S = \frac{1}{2} |(2(-4) + 9(6) + 5(-2))|$

$S = \frac{1}{2} |(-8 + 54 - 10)|$

$S = \frac{1}{2} |36| = 18$

Ответ: 18.

Решение способом 2 (метод прямоугольника):

1. Определим границы прямоугольника. Минимальная координата x - это 2 (у точки A), максимальная - 9 (у точки B). Минимальная координата y - это 2 (у точки A), максимальная - 8 (у точки C). Прямоугольник будет расположен между $x=2, x=9$ и $y=2, y=8$.

2. Длина прямоугольника: $9 - 2 = 7$. Ширина прямоугольника: $8 - 2 = 6$.
Площадь прямоугольника: $S_{прям} = 7 \times 6 = 42$.

3. Найдем площади трех внешних прямоугольных треугольников.

• Нижний треугольник (под стороной AB): катеты равны $9 - 2 = 7$ и $4 - 2 = 2$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \times 7 \times 2 = 7$.
• Правый верхний треугольник (справа от стороны BC): катеты равны $9 - 5 = 4$ и $8 - 4 = 4$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
• Левый верхний треугольник (слева от стороны AC): катеты равны $5 - 2 = 3$ и $8 - 2 = 6$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$.

4. Вычтем эти площади из площади прямоугольника:

$S_{ABC} = S_{прям} - S_1 - S_2 - S_3 = 42 - 7 - 8 - 9 = 18$.

Ответ: 18.

Чтобы решить вашу задачу, определите координаты вершин треугольника $ABC$ с вашего рисунка 22.1 и примените любой из описанных методов.