Номер 13, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 168.

Условие.

22.13. В прямоугольном треугольнике $MNK$ на гипотенузу $MK$ опущена высота $NF$. Площадь треугольника $MNF$ равна $2\text{ см}^2$, а площадь треугольника $KNF$ – $32\text{ см}^2$. Найдите гипотенузу треугольника $MNK$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $MNK$ — прямоугольный треугольник, где $\angle N = 90^\circ$. $NF$ — высота, опущенная на гипотенузу $MK$. Высота $NF$ делит гипотенузу на два отрезка: $MF$ и $KF$. Треугольники $MNF$ и $KNF$ также являются прямоугольными, и их общая высота — это катет $NF$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Для треугольника $MNF$ основанием является $MF$, а высотой — $NF$. Его площадь равна:$S_{MNF} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF$По условию, $S_{MNF} = 2$ см$^2$, следовательно:$2 = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot NF \implies MF \cdot NF = 4$.Отсюда $MF = \frac{4}{NF}$.

Для треугольника $KNF$ основанием является $KF$, а высотой — $NF$. Его площадь равна:$S_{KNF} = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF$По условию, $S_{KNF} = 32$ см$^2$, следовательно:$32 = \frac{1}{2} \cdot KF \cdot NF \implies KF \cdot NF = 64$.Отсюда $KF = \frac{64}{NF}$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Это свойство является следствием подобия треугольников $MNF$ и $KNF$.$NF^2 = MF \cdot KF$

Подставим в эту формулу выражения для $MF$ и $KF$, которые мы нашли ранее:$NF^2 = \left(\frac{4}{NF}\right) \cdot \left(\frac{64}{NF}\right)$$NF^2 = \frac{256}{NF^2}$$NF^4 = 256$$NF = \sqrt[4]{256} = 4$ см.

Теперь, зная длину высоты $NF$, мы можем найти длины отрезков $MF$ и $KF$:$MF = \frac{4}{NF} = \frac{4}{4} = 1$ см.$KF = \frac{64}{NF} = \frac{64}{4} = 16$ см.

Гипотенуза $MK$ состоит из двух отрезков $MF$ и $KF$. Найдем ее длину:$MK = MF + KF = 1 + 16 = 17$ см.

Ответ: 17 см.