Номер 16, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 168.

Условие.

22.16. Угол при вершине первого равнобедренного треугольника равен углу при вершине второго равнобедренного треугольника. Основание и проведённая к нему высота первого треугольника равны соответственно 30 см и 8 см, а боковая сторона второго треугольника – 51 см. Чему равен периметр второго треугольника?

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим параметры первого равнобедренного треугольника индексом 1, а второго — индексом 2. Дано:

• Первый треугольник: основание $a_1 = 30$ см, высота к основанию $h_1 = 8$ см.
• Второй треугольник: боковая сторона $b_2 = 51$ см.
• Углы при вершинах у обоих треугольников равны.

1. Нахождение боковой стороны первого треугольника

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катеты такого прямоугольного треугольника — это высота ($h_1$) и половина основания ($\frac{a_1}{2}$), а гипотенуза — боковая сторона ($b_1$).

Найдем половину основания первого треугольника:
$\frac{a_1}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

По теореме Пифагора найдем боковую сторону $b_1$:
$b_1^2 = h_1^2 + (\frac{a_1}{2})^2$
$b_1^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
$b_1 = \sqrt{289} = 17$ см.

2. Нахождение основания второго треугольника

По условию, углы при вершинах двух равнобедренных треугольников равны. Два равнобедренных треугольника, у которых равны углы при вершине, подобны. Это следует из того, что углы при основании у них также будут равны.

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Найдем этот коэффициент, используя известные боковые стороны:
$k = \frac{b_2}{b_1} = \frac{51}{17} = 3$.

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти основание второго треугольника $a_2$:
$a_2 = k \cdot a_1 = 3 \cdot 30 = 90$ см.

3. Нахождение периметра второго треугольника

Периметр второго треугольника ($P_2$) равен сумме длин всех его сторон. Так как он равнобедренный, его периметр вычисляется по формуле $P_2 = a_2 + 2b_2$.
$P_2 = 90 + 2 \cdot 51 = 90 + 102 = 192$ см.

Ответ: 192 см.