Номер 23, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 169.

Условие.

22.23. Точка $D$ – середина стороны $AB$ треугольника $ABC$, точка $E$ – середина стороны $BC$. Площадь четырёхугольника $ADEC$ равна $27 \text{ см}^2$.

Чему равна площадь треугольника $ABC$?

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, точка D — середина стороны AB треугольника ABC, а точка E — середина стороны BC. Это означает, что отрезок DE является средней линией треугольника ABC.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне (в данном случае, стороне AC) и равна её половине. Таким образом, $DE \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники DBE и ABC. Поскольку $DE \parallel AC$, то треугольник DBE подобен треугольнику ABC ($\triangle DBE \sim \triangle ABC$). Подобие следует из того, что:

1. $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle BDE = \angle BAC$ (как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон. Так как D — середина стороны AB, то $BD = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, коэффициент подобия:

$k = \frac{BD}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Из этого соотношения мы можем выразить площадь треугольника DBE через площадь треугольника ABC:

$S_{DBE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$

Площадь четырёхугольника ADEC равна разности площадей треугольника ABC и треугольника DBE:

$S_{ADEC} = S_{ABC} - S_{DBE}$

Подставим в это уравнение выражение для $S_{DBE}$ и известное значение площади $S_{ADEC} = 27$ см²:

$27 = S_{ABC} - \frac{1}{4}S_{ABC}$

Упростим правую часть уравнения:

$27 = (1 - \frac{1}{4})S_{ABC}$

$27 = \frac{3}{4}S_{ABC}$

Теперь найдём полную площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = 27 \cdot \frac{4}{3} = 9 \cdot 4 = 36$ см²

Ответ: 36 см².