Номер 24, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 24, страница 169.

Условие.

22.24. Отрезок CM – медиана треугольника ABC, изображённого на рисунке 22.3, отрезок DE – средняя линия треугольника MBC. Чему равна площадь четырёхугольника MDEC, если площадь треугольника ABC равна $48 \text{ см}^2$?

Рис. 22.1

Рис. 22.2

Рис. 22.3

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку отрезок $CM$ является медианой треугольника $ABC$, он делит его на два треугольника с равными площадями: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Площадь треугольника $BMC$ составляет половину площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Отрезок $DE$ — средняя линия треугольника $MBC$. Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник ( $\triangle DBE \sim \triangle MBC$ ), площадь которого составляет $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника. Коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$, а отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Следовательно, площадь треугольника $DBE$ равна:

$S_{\triangle DBE} = \frac{1}{4} S_{\triangle MBC} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Площадь четырёхугольника $MDEC$ можно найти как разность площадей треугольников $MBC$ и $DBE$:

$S_{MDEC} = S_{\triangle MBC} - S_{\triangle DBE} = 24 \text{ см}^2 - 6 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2$.

Ответ: $18 \text{ см}^2$.