Номер 25, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 25, страница 169.

Условие.

22.25. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BM = 3 \text{ см}$, $AM = 4 \text{ см}$, а площадь четырёхугольника $AMKC$ равна $80 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$. По условию задачи, прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ ($MK \parallel AC$).

Так как $MK \parallel AC$, то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам: угол $\angle B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон.

Найдем длину стороны $AB$. По условию дано, что $BM = 3$ см и $AM = 4$ см. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, следовательно:

$AB = AM + BM = 4 + 3 = 7$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{BM}{AB} = \frac{3}{7}$

Отношение площадей треугольников $S_{MBK}$ и $S_{ABC}$ равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$

Из этого соотношения можно выразить площадь треугольника $MBK$ через площадь треугольника $ABC$:

$S_{MBK} = \frac{9}{49} S_{ABC}$

Площадь треугольника $ABC$ можно представить как сумму площади треугольника $MBK$ и площади четырехугольника $AMKC$:

$S_{ABC} = S_{MBK} + S_{AMKC}$

По условию, площадь четырехугольника $S_{AMKC} = 80 \text{ см}^2$. Подставим это значение и выражение для $S_{MBK}$ в формулу выше:

$S_{ABC} = \frac{9}{49} S_{ABC} + 80$

Решим полученное линейное уравнение относительно $S_{ABC}$:

$S_{ABC} - \frac{9}{49} S_{ABC} = 80$

$S_{ABC}(1 - \frac{9}{49}) = 80$

$S_{ABC}(\frac{49 - 9}{49}) = 80$

$S_{ABC}(\frac{40}{49}) = 80$

$S_{ABC} = 80 \cdot \frac{49}{40}$

$S_{ABC} = 2 \cdot 49 = 98$

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна $98 \text{ см}^2$.

Ответ: $98 \text{ см}^2$.