Номер 21, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 169.

Условие.

22.21. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, как показано на рисун-ке 22.2. Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 15$ см, а сторо-на ромба равна 10 см.

Рис. 22.2

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$. Это значит, что все его стороны равны, а противоположные стороны параллельны. Из условия известно, что сторона ромба равна 10 см, а сторона треугольника $AC = 15$ см.

Так как $CDEF$ — ромб, то $FC = EF = 10$ см. Также, по определению ромба, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $EF \parallel CD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то прямая $CD$ является частью прямой $AC$, и, значит, $EF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EBF$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle B$ — общий для обоих треугольников.

Поскольку $EF \parallel AC$, то соответственные углы при параллельных прямых $EF$, $AC$ и секущей $BC$ равны: $\angle BFE = \angle BCA$.

Следовательно, треугольник $\triangle EBF$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$\frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$

Из условия мы знаем, что $EF = 10$ см (сторона ромба) и $AC = 15$ см.

Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BC = BF + FC$. Так как $FC$ — это сторона ромба, $FC = 10$ см. Отсюда можно выразить длину отрезка $BF$ через $BC$: $BF = BC - FC = BC - 10$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{10}{15}$

Сократим правую часть: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{2}{3}$

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot (BC - 10) = 2 \cdot BC$

$3BC - 30 = 2BC$

$3BC - 2BC = 30$

$BC = 30$

Таким образом, длина стороны $BC$ равна 30 см.

Ответ: 30 см.