Номер 19, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 168.

Условие.

Найдите отрезок $AD$, если $AD = 6$ см, $AC = 16$ см.

22.19. Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $O$, $BO : OD = 3 : 4$, $BC = 18$ см. Найдите основание $AD$ трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные при пересечении диагоналей трапеции $ABCD$.

Поскольку $AD \parallel BC$ по определению трапеции, то:

• $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
• $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Таким образом, треугольник $\triangle BOC$ подобен треугольнику $\triangle DOA$ по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO}$

По условию задачи известно, что $BO : OD = 3 : 4$ и $BC = 18$ см. Используем часть пропорции, связывающую известные и искомую величины:

$\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO}$

Подставим заданные значения:

$\frac{18}{AD} = \frac{3}{4}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину основания $AD$:

$3 \cdot AD = 18 \cdot 4$

$3 \cdot AD = 72$

$AD = \frac{72}{3}$

$AD = 24$ см.

Ответ: 24 см.