Номер 20, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 168.

Условие.

22.20. Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) пересекаются в точке $O$, $AO : OC = 7 : 3$, $BD = 40$ см. Найдите отрезок $OD$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, которые образуются при пересечении диагоналей трапеции $ABCD$ в точке $O$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то:

1. $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

2. $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи дано отношение отрезков диагонали $AC$: $AO : OC = 7 : 3$.

Из этого следует, что отношение отрезков диагонали $BD$ такое же:

$\frac{DO}{BO} = \frac{7}{3}$

Это означает, что диагональ $BD$ делится точкой $O$ на отрезки, которые относятся как $7:3$.

Пусть одна часть этого отношения равна $x$ см. Тогда длина отрезка $DO$ составляет 7 частей, а длина отрезка $BO$ - 3 части:

$DO = 7x$

$BO = 3x$

Длина всей диагонали $BD$ равна сумме длин ее частей:

$BD = DO + BO = 7x + 3x = 10x$

По условию, длина диагонали $BD$ равна 40 см. Составим и решим уравнение:

$10x = 40$

$x = \frac{40}{10} = 4$

Теперь можем найти длину искомого отрезка $OD$:

$OD = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: 28 см.