Номер 27, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 27, страница 169.

Условие.

22.27. Площадь треугольника ABC равна 24 см$^2$. На стороне AB отметили точки D и F так, что $AD = BF = \frac{1}{4}AB$, а на стороне BC – точки P и M так, что $CM = BP = \frac{1}{4}BC$. Найдите площадь четырёхугольника DFPM.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Площадь искомого четырехугольника $DFPM$ можно вычислить как разность площадей двух треугольников, имеющих общую вершину $B$ с исходным треугольником $ABC$.

Сначала определим длины отрезков на сторонах $AB$ и $BC$ относительно длин самих сторон.По условию, $AD = BF = \frac{1}{4}AB$. Тогда длина отрезка $BD$ составляет:$BD = AB - AD = AB - \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB$.

Аналогично, на стороне $BC$ по условию $CM = BP = \frac{1}{4}BC$. Тогда длина отрезка $BM$ составляет:$BM = BC - CM = BC - \frac{1}{4}BC = \frac{3}{4}BC$.

Площадь четырехугольника $DFPM$ можно представить как разность площадей треугольников $DBM$ и $FBP$. Это следует из того, что треугольник $DBM$ состоит из трех непересекающихся фигур: треугольника $FBP$, треугольника $DFP$ и треугольника $DPM$. Площадь четырехугольника $DFPM$ равна сумме площадей треугольников $DFP$ и $DPM$. Таким образом, $S_{DBM} = S_{FBP} + S_{DFP} + S_{DPM} = S_{FBP} + S_{DFPM}$. Отсюда $S_{DFPM} = S_{DBM} - S_{FBP}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Треугольники $ABC$, $FBP$ и $DBM$ имеют общий угол $B$. Площадь треугольника $ABC$ нам известна:$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B = 24$ см².

Теперь вычислим площадь треугольника $FBP$:$S_{FBP} = \frac{1}{2}BF \cdot BP \sin B = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}AB) \cdot (\frac{1}{4}BC) \sin B = \frac{1}{16} \cdot (\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B) = \frac{1}{16}S_{ABC}$.$S_{FBP} = \frac{1}{16} \cdot 24 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$ см².

Далее вычислим площадь треугольника $DBM$:$S_{DBM} = \frac{1}{2}BD \cdot BM \sin B = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4}AB) \cdot (\frac{3}{4}BC) \sin B = \frac{9}{16} \cdot (\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B) = \frac{9}{16}S_{ABC}$.$S_{DBM} = \frac{9}{16} \cdot 24 = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см².

Наконец, найдем площадь четырехугольника $DFPM$:$S_{DFPM} = S_{DBM} - S_{FBP} = 13,5 - 1,5 = 12$ см².

Ответ: 12 см².