Номер 29, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 29, страница 170.

Условие.

22.29. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведённая к основанию, – $4\sqrt{91}$ см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 40$ см и основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, длина высоты $BH = 4\sqrt{91}$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, и треугольник $ABH$ является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.Подставим известные значения, чтобы найти половину основания $AH$:$40^2 = AH^2 + (4\sqrt{91})^2$$1600 = AH^2 + 16 \cdot 91$$1600 = AH^2 + 1456$$AH^2 = 1600 - 1456$$AH^2 = 144$$AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Поскольку $H$ — середина $AC$, то длина всего основания равна:$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы углов при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Точки $D$ и $E$ являются точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Требуется найти длину отрезка $DE$.

Рассмотрим биссектрису $CD$ угла $\angle BCA$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону ($AB$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам ($AC$ и $BC$):$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные длины сторон:$\frac{AD}{DB} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Следовательно, их биссектрисы $AE$ и $CD$ делят противолежащие боковые стороны $BC$ и $AB$ в одинаковом отношении:$\frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB} = \frac{3}{5}$

Поскольку точки $D$ и $E$ делят боковые стороны $AB$ и $BC$ в одинаковом отношении, считая от вершин при основании ($A$ и $C$), то по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезок $DE$ параллелен основанию $AC$.

Параллельность $DE$ и $AC$ означает, что треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответствующих сторон. Найдем отношение $\frac{BD}{BA}$.

Из пропорции $\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5}$ следует, что сторону $AB$ можно представить как сумму $3+5=8$ частей. Отрезок $DB$ составляет 5 из этих 8 частей. Таким образом:$\frac{DB}{AB} = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$

Коэффициент подобия $k = \frac{5}{8}$.Отношение длин отрезков $DE$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия:$\frac{DE}{AC} = k$$DE = AC \cdot k = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.