Номер 33, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 33, страница 170.

Условие.

22.33. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана BK треугольника ABC делит отрезок CM?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отмечена точка $M$ так, что $AM:MB = 4:3$. $BK$ — медиана треугольника $ABC$, значит, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Пусть отрезки $BK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Требуется найти отношение $CO:OM$.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $AMC$ и прямую $BOK$ в качестве секущей. Эта прямая пересекает сторону $MC$ в точке $O$, сторону $AC$ в точке $K$ и продолжение стороны $AM$ в точке $B$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $AMC$ и секущей $BOK$ справедливо соотношение:

$$ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$

Найдем значения каждого из множителей в этом равенстве:

1. Из условия известно, что $AM:MB = 4:3$. Пусть $AM = 4x$, тогда $MB = 3x$. Длина всей стороны $AB$ будет равна $AM + MB = 4x + 3x = 7x$. Следовательно, отношение $\frac{AB}{BM} = \frac{7x}{3x} = \frac{7}{3}$.
2. Поскольку $BK$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, точка $K$ является ее серединой. Таким образом, $CK = KA$, и отношение $\frac{CK}{KA} = 1$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения выразим искомое отношение:

$$ \frac{MO}{OC} = \frac{3}{7} $$

Вопрос задачи состоит в том, в каком отношении медиана $BK$ делит отрезок $CM$. Это соответствует отношению $CO:OM$, которое является обратным к найденному:

$$ \frac{CO}{OM} = \frac{7}{3} $$

Таким образом, медиана $BK$ делит отрезок $CM$ в отношении $7:3$, считая от вершины $C$.

Ответ: 7:3.