Номер 37, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 37, страница 170.

Условие.

25 см, отрезок AD на 5 см больше отрезка CD. Найдите сторону АС.

22.37. В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ — высота, отрезок $AM$ — биссектриса, $BK = 26$ см, $AB : AC = 6 : 7$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $MD$.

Решение 1.

Решение 3.

22.37. По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса $AM$ делит сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Таким образом, справедливо отношение:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$

Из условия задачи известно, что $AB : AC = 6 : 7$, следовательно:

$\frac{BM}{MC} = \frac{6}{7}$

Пусть $BM = 6k$ и $MC = 7k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$. Тогда вся сторона $BC$ равна $BC = BM + MC = 6k + 7k = 13k$.

Таким образом, отношение отрезка $MC$ к стороне $BC$ составляет:

$\frac{MC}{BC} = \frac{7k}{13k} = \frac{7}{13}$

По условию, $BK$ является высотой к стороне $AC$, а $MD$ — перпендикуляром к той же стороне $AC$. Это означает, что $BK \perp AC$ и $MD \perp AC$. Поскольку оба отрезка $BK$ и $MD$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу ($BK \parallel MD$).

Рассмотрим треугольники $\triangle CMD$ и $\triangle CBK$. Эти треугольники подобны по двум углам: у них общий угол $\angle C$, а углы $\angle MDC$ и $\angle BKC$ прямые ($\angle MDC = \angle BKC = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle CMD \sim \triangle CBK$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MD}{BK} = \frac{CM}{CB}$

Подставим в это равенство известные нам значения: $BK = 26$ см и $\frac{CM}{CB} = \frac{7}{13}$.

$\frac{MD}{26} = \frac{7}{13}$

Выразим и вычислим длину отрезка $MD$:

$MD = 26 \cdot \frac{7}{13} = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.