Номер 38, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 38, страница 170.

Условие.

22.38. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$), равен 12 см, а расстояние от центра этой окружности до вершины $B$ – 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ окружности, а $r$ — её радиус. По условию, $r = 12$ см. В равнобедренном треугольнике ($AB = BC$) центр вписанной окружности лежит на высоте $BH$, проведенной к основанию $AC$, которая также является биссектрисой угла $B$ и медианой.

Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания на стороне равно радиусу. Таким образом, перпендикуляр $OH$ к основанию $AC$ равен радиусу, $OH = r = 12$ см.

Точка $O$ лежит на высоте $BH$. Длина высоты $BH$ складывается из длины отрезка $BO$ (расстояние от центра до вершины $B$) и радиуса $OH$.$BH = BO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности с боковой стороной $AB$. Тогда отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, и, следовательно, $OK \perp AB$. Длина $OK$ равна радиусу, $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKO$ (угол $\angle BKO = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора найдем длину катета $BK$:$BK^2 = BO^2 - OK^2$$BK = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle OBK$ подобны, так как имеют общий острый угол $\angle B$. Из подобия следует:$\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK}$

Подставим известные значения и найдем длину $AH$:$\frac{AH}{12} = \frac{32}{16}$$\frac{AH}{12} = 2$$AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Поскольку высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является также медианой, она делит основание $AC$ пополам.$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 24 = 48$ см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных равны. Следовательно, $AK = AH = 24$ см.Найдем длину боковой стороны $AB$:$AB = AK + BK = 24 + 16 = 40$ см.Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $BC = AB = 40$ см.

Теперь найдем периметр треугольника $ABC$:$P_{ABC} = AB + BC + AC = 40 + 40 + 48 = 128$ см.

Ответ: 128 см.