Номер 41, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 41, страница 170.

Условие.

22.41. Две стороны треугольника, угол между которыми равен $60^\circ$, относятся как $5:8$, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть неизвестные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона $c = 21$ см. Угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ равен $60^\circ$.

Согласно условию задачи, отношение сторон $a$ и $b$ составляет $5 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как:
$a = 5x$
$b = 8x$

Применим теорему косинусов для нахождения неизвестных сторон. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 - 2(5x)(8x) \cos(60^\circ)$

Выполним вычисления, учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:
$441 = 25x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 40x^2 \cdot \frac{1}{2}$
$441 = 25x^2 + 64x^2 - 40x^2$
$441 = (25 + 64 - 40)x^2$
$441 = 49x^2$

Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x^2 = \frac{441}{49}$
$x^2 = 9$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение корня:
$x = \sqrt{9} = 3$

Найдя коэффициент пропорциональности $x$, можем определить длины неизвестных сторон:
$a = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см
$b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см

Ответ: 15 см и 24 см.