Номер 46, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 46, страница 171.

Условие.

22.46. Найдите площадь круга, описанного около треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 9 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, необходимо сначала найти радиус $R$ этого круга. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.

Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $a, b, c$, связан с площадью этого треугольника $S_{\triangle}$ следующей формулой:

$R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$

Стороны треугольника известны: $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см. Найдем площадь треугольника, используя формулу Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $S_{\triangle}$ по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

$S_{\triangle} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см$^2$.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 12\sqrt{5}} = \frac{504}{48\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}}$ см.

Наконец, вычислим площадь круга:

$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{21}{2\sqrt{5}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{21^2}{(2\sqrt{5})^2} = \pi \cdot \frac{441}{4 \cdot 5} = \pi \cdot \frac{441}{20} = 22,05\pi$ см$^2$.

Ответ: $22,05\pi$ см$^2$.