Номер 40, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 40, страница 170.

Условие.

22.40. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см.

К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, которая параллельна основанию $AC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вычислите площадь треугольника $MBK$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=BC$), его высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, также является и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Для дальнейших вычислений найдем радиус $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$ ($MK || AC$). Следовательно, треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$.

Коэффициент подобия можно найти как отношение высот этих треугольников. Пусть $BH'$ — высота треугольника $MBK$, проведенная из вершины $B$. Так как $MK$ — касательная к вписанной окружности, параллельная основанию $AC$ (которого окружность касается в точке $H$), расстояние между прямыми $MK$ и $AC$ равно диаметру вписанной окружности, то есть $2r$.

Таким образом, высота $BH'$ треугольника $MBK$ меньше высоты $BH$ на $2r$:

$BH' = BH - 2r = 12 - 2 \cdot \frac{10}{3} = 12 - \frac{20}{3} = \frac{36 - 20}{3} = \frac{16}{3}$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{BH'}{BH} = \frac{16/3}{12} = \frac{16}{3 \cdot 12} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

Наконец, вычислим площадь треугольника $MBK$:

$S_{MBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 60 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2 = 60 \cdot \frac{16}{81} = \frac{20 \cdot 3 \cdot 16}{27 \cdot 3} = \frac{20 \cdot 16}{27} = \frac{320}{27}$ см².

Ответ: $\frac{320}{27}$ см².