Номер 35, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 35, страница 170.

Условие.

22.35. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ точка пересечения медиан удалена от вершины $B$ на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника до его основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Обозначим точку пересечения медиан как $G$. Проведем медиану $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, его медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Следовательно, $BH$ перпендикулярна $AC$ ($BH \perp AC$), и длина $BH$ является высотой треугольника.

Точка пересечения медиан $G$ лежит на медиане $BH$. По свойству медиан, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BH$ это означает:

$ \frac{BG}{GH} = \frac{2}{1} $

Из условия задачи известно, что расстояние от точки пересечения медиан до вершины $B$ равно 6 см, то есть $BG = 6$ см. Используя это соотношение, найдем длину отрезка $GH$:

$ GH = \frac{1}{2} \cdot BG = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см} $

Теперь мы можем вычислить полную длину медианы (и высоты) $BH$:

$ BH = BG + GH = 6 + 3 = 9 \text{ см} $

Далее, нам нужно найти расстояние от середины боковой стороны до основания. Пусть точка $M$ – середина боковой стороны $BC$. Искомое расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$. Обозначим этот перпендикуляр как $MK$, где точка $K$ лежит на $AC$.

Рассмотрим треугольник $BHC$. Так как $BH$ – высота, $\angle BHC = 90^\circ$, следовательно, треугольник $BHC$ – прямоугольный.

Поскольку $MK \perp AC$ и $BH \perp AC$, отрезки $MK$ и $BH$ параллельны ($MK \parallel BH$).

В треугольнике $BHC$ отрезок $MK$ проходит через середину стороны $BC$ (точку $M$) и параллелен стороне $BH$. По определению, такой отрезок является средней линией треугольника $BHC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:

$ MK = \frac{1}{2} BH $

Подставив найденное значение длины $BH$, получаем:

$ MK = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5 \text{ см} $

Ответ: 4,5 см.