Номер 32, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 32, страница 170.

Условие.

22.32. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ пересекает медиану $BK$ в точке $O$. Нам необходимо найти отношение $BO:OK$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $BKC$ и секущей $AOM$. Точки $A$, $O$, $M$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает сторону $BK$ в точке $O$, сторону $BC$ в точке $M$ и продолжение стороны $KC$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице. Для треугольника $BKC$ и секущей $AOM$ формула выглядит так:

$\frac{BO}{OK} \cdot \frac{KA}{AC} \cdot \frac{CM}{MB} = 1$

Проанализируем каждый из сомножителей в этом выражении:

1. Отношение $\frac{BO}{OK}$ — это искомое отношение.

2. Так как $BK$ — медиана, то точка $K$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AK = KC$. Длина всей стороны $AC$ равна $AC = AK + KC = AK + AK = 2AK$. Следовательно, отношение $\frac{KA}{AC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2}$.

3. По условию задачи, точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM:MC = 3:10$. Отсюда следует, что отношение обратных отрезков равно $\frac{CM}{MB} = \frac{10}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{BO}{OK} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} = 1$

Упростим полученное выражение:

$\frac{BO}{OK} \cdot \frac{10}{6} = 1$

$\frac{BO}{OK} \cdot \frac{5}{3} = 1$

Выразим искомое отношение:

$\frac{BO}{OK} = \frac{3}{5}$

Таким образом, отрезок $AM$ делит медиану $BK$ в отношении $3:5$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:5$.