Номер 28, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 28, страница 169.

Условие.

22.28. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Согласно условию, длины его катетов равны 5 см и 12 см. Пусть больший катет $AC = 12$ см, а меньший катет $BC = 5$ см.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. Из условия задачи известно, что:
1. Центр $O$ принадлежит гипотенузе $AB$.
2. Окружность касается большего катета $AC$. Пусть $H$ — точка касания. Тогда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OH \perp AC$. Длина этого радиуса равна $R$, следовательно, $OH = R$.
3. Окружность проходит через вершину $B$ (вершину острого угла, противолежащего большему катету $AC$). Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $B$ равно радиусу, то есть $OB = R$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то мы можем выразить длину отрезка $AO$ через $R$:$AO = AB - OB = 13 - R$.

Рассмотрим треугольник $AOH$. Так как $OH \perp AC$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом $H$. Сравним его с исходным треугольником $ABC$.

Треугольники $\triangle AOH$ и $\triangle ABC$ подобны, так как они оба прямоугольные ($\angle AHO = \angle ACB = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle A$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{OH}{BC} = \frac{AO}{AB}$

Подставим в это соотношение известные нам значения и выражения:$\frac{R}{5} = \frac{13 - R}{13}$

Решим полученное уравнение относительно $R$, используя свойство пропорции:$13 \cdot R = 5 \cdot (13 - R)$$13R = 65 - 5R$$13R + 5R = 65$$18R = 65$$R = \frac{65}{18}$ см.

Ответ: $\frac{65}{18}$ см.