Номер 17, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 168.

Условие.

22.17. На стороне BC треугольника ABC отметили точку K так, что $∠CAK = ∠ABC$, BK = 12 см, KC = 4 см. Найдите сторону AC.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KAC$.

У этих треугольников:

1. $\angle C$ — общий.
2. $\angle ABC = \angle KAC$ по условию.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников), то есть $\triangle ABC \sim \triangle KAC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{KC}$

Найдем длину стороны $BC$. Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то $BC = BK + KC$.

$BC = 12 \text{ см} + 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{16}{AC} = \frac{AC}{4}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$AC^2 = 16 \cdot 4$

$AC^2 = 64$

$AC = \sqrt{64}$

$AC = 8$ (см), так как длина стороны не может быть отрицательной.

Ответ: 8 см.