Номер 10, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 10, страница 168.

Условие.

22.10. Периметр равнобедренного треугольника равен 100 см, а высота, опущенная на основание, – 30 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, $b$ — длина его основания, а $h$ — высота, опущенная на основание.

По условию задачи, периметр $P = 100$ см, а высота $h = 30$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, поэтому для равнобедренного треугольника формула периметра имеет вид:
$P = 2a + b$
Подставим известное значение периметра:
$100 = 2a + b$

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Это означает, что она делит основание $b$ на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{b}{2}$. Эта высота, боковая сторона $a$ и половина основания $\frac{b}{2}$ образуют прямоугольный треугольник.

Применим к этому прямоугольному треугольнику теорему Пифагора ($c^2 = x^2 + y^2$, где $c$ — гипотенуза, а $x$ и $y$ — катеты):
$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$
Подставим известное значение высоты $h = 30$ см:
$a^2 = 30^2 + \frac{b^2}{4}$
$a^2 = 900 + \frac{b^2}{4}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $100 = 2a + b$
2) $a^2 = 900 + \frac{b^2}{4}$

Из первого уравнения выразим $a$:
$2a = 100 - b$
$a = \frac{100 - b}{2} = 50 - \frac{b}{2}$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$\left(50 - \frac{b}{2}\right)^2 = 900 + \frac{b^2}{4}$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$50^2 - 2 \cdot 50 \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 900 + \frac{b^2}{4}$
$2500 - 50b + \frac{b^2}{4} = 900 + \frac{b^2}{4}$

Слагаемое $\frac{b^2}{4}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:
$2500 - 50b = 900$

Решим полученное линейное уравнение, чтобы найти $b$:
$50b = 2500 - 900$
$50b = 1600$
$b = \frac{1600}{50} = 32$ см.

Мы нашли длину основания треугольника. Теперь можно вычислить его площадь ($S$) по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

Подставим значения $b=32$ см и $h=30$ см:
$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$ см$^2$.

Ответ: 480 см$^2$.