Номер 4, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 4, страница 167.

Условие.

Найдите основание данного треугольника.

22.4. Высота $AD$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$ так, что $BD = 15$ см, $CD = 5$ см. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 30^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $AD$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$, то $AD \perp BC$. Это означает, что треугольники $ADB$ и $ADC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. В этом треугольнике нам известны катет $BD = 15$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle B = 30^\circ$. Мы можем найти длину высоты $AD$, которая является противолежащим катетом к углу $B$, используя определение тангенса.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\angle B) = \frac{AD}{BD}$

Выразим из этой формулы катет $AD$:

$AD = BD \cdot \tan(\angle B)$

Подставим известные значения $BD = 15$ см и $\angle B = 30^\circ$. Значение тангенса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$AD = 15 \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем нам известны длины двух катетов: $AD = 5\sqrt{3}$ см и $CD = 5$ см. Сторона $AC$, которую нужно найти, является гипотенузой этого треугольника.

Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставим известные значения длин катетов в эту формулу:

$AC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2$

$AC^2 = (25 \cdot 3) + 25$

$AC^2 = 75 + 25$

$AC^2 = 100$

Чтобы найти длину стороны $AC$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.