Номер 97, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 97, страница 167.

Условие.

21.97. Ромб со стороной $4 \text{ см}$ и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину его тупого угла и перпендикулярной меньшей диагонали ромба. Найдите объём образовавшегося тела.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим сторону ромба как $a$, острый угол как $\alpha$, тупой угол как $\beta$. По условию, $a = 4$ см, а один из углов равен $60^\circ$. Следовательно, это острый угол, $\alpha = 60^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому тупой угол $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем длины диагоналей ромба. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла. Ромб с углом $60^\circ$ состоит из двух равносторонних треугольников, поэтому меньшая диагональ равна стороне ромба: $d_1 = a = 4$ см. Эта диагональ соединяет вершины тупых углов.

Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла. Её можно найти по теореме косинусов: $d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. $d_2 = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см. Эта диагональ соединяет вершины острых углов.

Определим ось вращения. По условию, это прямая, которая: 1. Проходит через вершину тупого угла ромба. 2. Перпендикулярна меньшей диагонали ромба.

Пусть ромб — это ABCD, где углы B и D — тупые ($120^\circ$), а A и C — острые ($60^\circ$). Тогда меньшая диагональ — это BD. Ось вращения проходит, например, через вершину B и перпендикулярна диагонали BD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, прямая, проходящая через вершину B и перпендикулярная BD, будет параллельна диагонали AC.

Таким образом, ромб вращается вокруг оси, которая проходит через одну из его вершин (вершину тупого угла) и параллельна его большей диагонали.

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся второй теоремой Гюльдена-Паппа: объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры. $V = 2\pi R S$, где $S$ — площадь ромба, а $R$ — расстояние от центроида ромба до оси вращения.

Площадь ромба можно вычислить через его диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Центроид ромба находится в точке пересечения его диагоналей. Ось вращения проходит через вершину, лежащую на меньшей диагонали. Расстояние от центра ромба до этой вершины равно половине длины меньшей диагонали. $R = \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь можем вычислить объём тела вращения: $V = 2\pi \cdot R \cdot S = 2\pi \cdot 2 \cdot 8\sqrt{3} = 32\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $32\pi\sqrt{3}$ см$^3$.