Номер 95, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 95, страница 167.

Условие.

21.95. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\alpha$, а радиус шара, описанного около конуса, $-$ $R$. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема конуса $V$ воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$,

где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Нам необходимо выразить $r$ и $H$ через заданные величины: радиус описанной сферы $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность описанной сферы, радиус которой равен $R$. Основание этого треугольника является диаметром основания конуса ($2r$), боковые стороны — образующими конуса ($l$), а высота треугольника — высотой конуса ($H$).

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол при основании равнобедренного треугольника, который по условию равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $r$ и образующей $l$, справедливы соотношения:

$r = l \cos \alpha$

$H = l \sin \alpha$

Для того чтобы найти образующую $l$, воспользуемся теоремой синусов для треугольника, являющегося осевым сечением. Сторона этого треугольника, равная образующей $l$, лежит против угла $\alpha$. Радиус описанной окружности равен $R$. По теореме синусов:

$\frac{l}{\sin \alpha} = 2R$

Из этого соотношения выражаем образующую $l$:

$l = 2R \sin \alpha$

Теперь подставим это выражение для $l$ в формулы для $r$ и $H$:

$r = (2R \sin \alpha) \cos \alpha = R (2 \sin \alpha \cos \alpha) = R \sin(2\alpha)$

$H = (2R \sin \alpha) \sin \alpha = 2R \sin^2 \alpha$

Наконец, подставим полученные выражения для $r$ и $H$ в формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi (R \sin(2\alpha))^2 (2R \sin^2 \alpha)$

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 \sin^2(2\alpha) \cdot 2R \sin^2 \alpha$

$V = \frac{2}{3} \pi R^3 \sin^2(2\alpha) \sin^2 \alpha$

Это выражение можно также преобразовать, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$V = \frac{2}{3} \pi R^3 (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} \pi R^3 (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) \sin^2 \alpha = \frac{8}{3} \pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$

Ответ: $V = \frac{8}{3} \pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$ (или $V = \frac{2}{3} \pi R^3 \sin^2(2\alpha) \sin^2 \alpha$).