Номер 99, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 99, страница 167.

Условие.

21.99. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$, а угол между диагональю этого сечения и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания. Тогда диаметр основания равен $D = 2r$.Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $H$ и $D$. По условию, площадь этого сечения равна $S$, то есть $S = D \cdot H$.

Диагональ этого прямоугольника (обозначим ее $d$) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, диаметром $D$ и диагональю $d$, угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$ равен $\alpha$.Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можно выразить его катеты через гипотенузу $d$ и угол $\alpha$:$H = d \cdot \sin(\alpha)$$D = d \cdot \cos(\alpha)$

Подставим эти выражения в формулу для площади осевого сечения:$S = D \cdot H = (d \cdot \cos(\alpha)) \cdot (d \cdot \sin(\alpha)) = d^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, получим:$S = d^2 \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

Отсюда выразим квадрат диагонали $d^2$:$d^2 = \frac{2S}{\sin(2\alpha)}$.

Сфера, описанная около цилиндра, имеет своим диаметром диагональ осевого сечения цилиндра. Следовательно, диаметр сферы равен $d$, а её радиус $R = \frac{d}{2}$.Площадь сферы вычисляется по формуле $A_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$.Подставим в эту формулу выражение для радиуса:$A_{\text{сферы}} = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{d^2}{4} = \pi d^2$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $d^2$:$A_{\text{сферы}} = \pi \cdot \frac{2S}{\sin(2\alpha)} = \frac{2\pi S}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2\pi S}{\sin(2\alpha)}$