Номер 98, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 98, страница 167.

Условие.

21.98. Объём цилиндра равен $16\pi \text{ см}^3$. Найдите объём шара, вписанного в данный цилиндр.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть радиус шара, вписанного в цилиндр, равен $R$. Тогда радиус основания цилиндра также равен $R$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.
Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 H$. Подставим в нее выражение для высоты $H = 2R$:$V_{цил} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$.
По условию задачи, объем цилиндра равен $16\pi$ см³. Используя это, найдем радиус $R$:$2\pi R^3 = 16\pi$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$:$R^3 = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$
Отсюда, $R = \sqrt[3]{8} = 2$ см.
Теперь мы можем найти объем шара, зная его радиус. Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Подставим найденное значение $R = 2$ см в формулу:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$ см³.

Эту задачу можно решить и другим способом, найдя соотношение объемов шара и описанного вокруг него цилиндра.
$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$
Таким образом, объем вписанного шара составляет $\frac{2}{3}$ от объема цилиндра.$V_{шара} = \frac{2}{3} V_{цил} = \frac{2}{3} \cdot 16\pi = \frac{32\pi}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{32\pi}{3}$ см³.