Номер 91, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 91, страница 166.

Условие.

21.91. Найдите отношение объёма цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, к объёму цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма. В её основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, а высота призмы равна $h$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi \cdot R_{цил}^2 \cdot H$, где $R_{цил}$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Вписанный и описанный цилиндры имеют ту же высоту, что и призма, то есть $H=h$.

1. Рассмотрим цилиндр, вписанный в призму.
Его основания — это круги, вписанные в основания призмы. Радиус $r$ такого круга (радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$) вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Объём вписанного цилиндра $V_{впис}$ равен:$V_{впис} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{4 \cdot 3} h = \frac{\pi a^2 h}{12}$

2. Рассмотрим цилиндр, описанный около призмы.
Его основания — это круги, описанные около оснований призмы. Радиус $R$ такого круга (радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$Объём описанного цилиндра $V_{опис}$ равен:$V_{опис} = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{3} h = \frac{\pi a^2 h}{3}$

3. Найдём отношение объёмов.
Искомое отношение объёма вписанного цилиндра к объёму описанного цилиндра равно:$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{12}}{\frac{\pi a^2 h}{3}}$Сократив общие множители $\pi a^2 h$, получим:$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{1/12}{1/3} = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Заметим, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной: $R = 2r$. Тогда отношение объёмов можно найти проще:$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{\pi r^2 h}{\pi R^2 h} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{r^2}{(2r)^2} = \frac{r^2}{4r^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$