Номер 84, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 84, страница 166.

Условие.

21.84. Объем правильного тетраэдра равен $V$. Чему равен объем тетраэдра, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан правильный тетраэдр, объём которого равен $V$, а длина ребра — $a$. Новый тетраэдр, вершинами которого являются центры граней исходного тетраэдра, также является правильным тетраэдром. Обозначим его объём как $V'$, а длину ребра — как $a'$.

Так как оба тетраэдра правильные, они подобны друг другу. Отношение объёмов подобных трёхмерных фигур равно кубу коэффициента их подобия $k$. $$ \frac{V'}{V} = k^3 $$ Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих линейных элементов, например, рёбер: $k = \frac{a'}{a}$. Наша задача — найти этот коэффициент.

Ребро нового тетраэдра $a'$ — это расстояние между центрами двух любых смежных граней исходного тетраэдра. Рассмотрим две смежные грани, например, $ABC$ и $ABD$, которые пересекаются по ребру $AB$. Пусть $O_1$ — центр грани $ABC$, а $O_2$ — центр грани $ABD$. Тогда длина ребра нового тетраэдра равна расстоянию между этими точками: $a' = O_1O_2$.

Пусть $M$ — середина общего ребра $AB$. Грани правильного тетраэдра являются правильными треугольниками, поэтому отрезки $CM$ и $DM$ — это их медианы и высоты. Центры граней $O_1$ и $O_2$ являются точками пересечения медиан и, следовательно, лежат на отрезках $CM$ и $DM$ соответственно.

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что расстояние от середины стороны до центра треугольника составляет $1/3$ от длины всей медианы: $$ MO_1 = \frac{1}{3} CM \quad \text{и} \quad MO_2 = \frac{1}{3} DM $$

Рассмотрим треугольник $CMD$. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на его сторонах $CM$ и $DM$. Треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MCD$, так как у них общий угол при вершине $M$, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $$ \frac{MO_1}{MC} = \frac{MO_2}{MD} = \frac{1}{3} $$

Из подобия треугольников $MO_1O_2$ и $MCD$ следует, что отношение длин их третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $$ \frac{O_1O_2}{CD} = \frac{1}{3} $$

Длина отрезка $O_1O_2$ — это ребро нового тетраэдра $a'$, а длина отрезка $CD$ — это ребро исходного тетраэдра $a$. Таким образом, мы нашли отношение длин рёбер: $$ \frac{a'}{a} = \frac{1}{3} $$ Следовательно, коэффициент подобия тетраэдров $k = \frac{1}{3}$.

Теперь мы можем найти отношение объёмов: $$ \frac{V'}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$ Отсюда выражаем объём нового тетраэдра $V'$: $$ V' = \frac{V}{27} $$

Ответ: $\frac{V}{27}$