Номер 77, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 77, страница 165.

Условие.

21.77. Боковые грани правильной шестиугольной призмы являются квадратами, а её большая диагональ равна $d$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — её высота.По условию задачи, боковые грани призмы являются квадратами. Это означает, что высота призмы равна стороне её основания:$h = a$.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. Его площадь равна сумме площадей шести правильных треугольников со стороной $a$:$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставив $S_{осн}$ и $h=a$ в формулу объёма, получим:$V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3$.

Теперь найдём сторону $a$ через большую диагональ призмы $d$. Большая диагональ призмы соединяет две противоположные вершины, принадлежащие разным основаниям. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота призмы $h$ и большая диагональ основания $D_{осн}$.

Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна удвоенной длине его стороны:$D_{осн} = 2a$.

По теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника:$d^2 = h^2 + D_{осн}^2$.Подставим известные нам соотношения $h = a$ и $D_{осн} = 2a$:$d^2 = a^2 + (2a)^2$$d^2 = a^2 + 4a^2$$d^2 = 5a^2$

Отсюда выразим $a^2$ и $a$:$a^2 = \frac{d^2}{5}$$a = \frac{d}{\sqrt{5}}$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу объёма:$V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^3}{5\sqrt{5}}$$V = \frac{3\sqrt{3}d^3}{10\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$V = \frac{3\sqrt{3}d^3 \cdot \sqrt{5}}{10\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15}d^3}{10 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{15}d^3}{50}$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{15}d^3}{50}$