Номер 74, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 74, страница 165.

Условие.

21.74. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 8 см и образует с плоскостью боковой грани угол $30^\circ$. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого основание $ABCD$ — квадрат. Обозначим сторону основания за $a$ (то есть $AB = BC = a$) и высоту за $h$ (то есть $AA_1 = h$).

Диагональ параллелепипеда, например $AC_1$, равна $d = 8$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью боковой грани, например $(BCC_1B_1)$, равен $30^\circ$.

Углом между прямой и плоскостью является угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Следовательно, точка $B$ является проекцией точки $A$ на эту плоскость. Точка $C_1$ лежит в плоскости $(BCC_1B_1)$, поэтому её проекция — это сама точка $C_1$. Таким образом, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $(BCC_1B_1)$ является отрезок $BC_1$.

Угол между диагональю $AC_1$ и её проекцией $BC_1$ — это угол $\angle AC_1B$. По условию, $\angle AC_1B = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC_1$, в котором угол $\angle ABC_1 = 90^\circ$, так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости, содержащей $BC_1$. В этом треугольнике гипотенуза $AC_1 = d = 8$ см, а катет $AB = a$ лежит против угла в $30^\circ$.

Из свойств прямоугольного треугольника находим сторону основания $a$:
$a = AB = AC_1 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь найдём длину диагонали боковой грани $BC_1$. В том же треугольнике $\triangle ABC_1$ находим катет $BC_1$:
$BC_1 = AC_1 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Боковая грань $BCC_1B_1$ является прямоугольником со сторонами $BC = a = 4$ см и $BB_1 = h$. Диагональ этого прямоугольника - $BC_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BCC_1$ (где $\angle BCC_1 = 90^\circ$):
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$, что то же самое, что и $BC_1^2 = a^2 + h^2$.

Подставим известные значения и найдём высоту $h$:
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + h^2$
$16 \cdot 3 = 16 + h^2$
$48 = 16 + h^2$
$h^2 = 48 - 16 = 32$
$h = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Так как основанием является квадрат со стороной $a$, площадь основания равна $S_{осн} = a^2$.

Находим объём:
$V = a^2 \cdot h = 4^2 \cdot 4\sqrt{2} = 16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $64\sqrt{2}$ см$^3$.