Номер 69, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 69, страница 165.

Условие.

21.69. Высота цилиндра равна диаметру основания. В данный цилиндр вписан шар. В этот шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания конуса. Найдите отношение площади боковой поверхности данного цилиндра к площади боковой поверхности данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем обозначения и выполним вычисления по шагам.

1. Определение параметров цилиндра и вписанного шара.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R_{цил}$. Тогда диаметр его основания $D_{цил} = 2R_{цил}$. По условию задачи, высота цилиндра $H_{цил}$ равна диаметру его основания, то есть $H_{цил} = D_{цил} = 2R_{цил}$.

В данный цилиндр вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Радиус такого шара $R_{шара}$ будет равен половине высоты цилиндра и равен радиусу основания цилиндра.

$R_{шара} = \frac{H_{цил}}{2} = \frac{2R_{цил}}{2} = R_{цил}$.

Для удобства дальнейших вычислений, обозначим радиус шара (и радиус основания цилиндра) как $R$. Тогда высота цилиндра будет равна $2R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил.} = 2\pi R_{цил} H_{цил}$.

Подставим наши значения: $S_{бок.цил.} = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$.

2. Определение параметров конуса, вписанного в шар.

Пусть радиус основания конуса равен $r$, образующая равна $l$, а высота — $h$. Конус вписан в шар радиусом $R$.

По условию, образующая конуса равна диаметру его основания: $l = 2r$.

Связь между высотой, радиусом и образующей конуса описывается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного этими тремя отрезками: $l^2 = h^2 + r^2$.

Подставим в это уравнение условие $l = 2r$:

$(2r)^2 = h^2 + r^2$

$4r^2 = h^2 + r^2$

$h^2 = 3r^2$

$h = r\sqrt{3}$

Теперь найдем связь между параметрами конуса и радиусом шара $R$, в который он вписан. Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и боковыми сторонами $l$, вписанный в этот круг.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R_{окр} = \frac{abc}{4S_{тр}}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S_{тр}$ — его площадь. В нашем случае $R_{окр} = R$.

Стороны треугольника: $l, l, 2r$. Площадь треугольника: $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$.

$R = \frac{l \cdot l \cdot 2r}{4rh} = \frac{l^2}{2h}$.

Подставим ранее найденные соотношения $l = 2r$ и $h = r\sqrt{3}$:

$R = \frac{(2r)^2}{2(r\sqrt{3})} = \frac{4r^2}{2r\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Отсюда выразим радиус конуса $r$ через радиус шара $R$:

$r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

3. Нахождение отношения площадей боковых поверхностей.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон.} = \pi r l$.

Так как $l = 2r$, то $S_{бок.кон.} = \pi r (2r) = 2\pi r^2$.

Теперь подставим выражение для $r$ через $R$:

$S_{бок.кон.} = 2\pi \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2\pi \left(\frac{R^2 \cdot 3}{4}\right) = \frac{3}{2}\pi R^2$.

Мы ищем отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади боковой поверхности конуса:

$\frac{S_{бок.цил.}}{S_{бок.кон.}} = \frac{4\pi R^2}{\frac{3}{2}\pi R^2}$

Сократив $\pi R^2$, получим:

$\frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.