Номер 63, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 63, страница 164.

Условие.

21.63. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, вписанного в шар, радиус которого равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Пусть $a$ — длина ребра тетраэдра.

Площадь поверхности правильного тетраэдра $S$ равна сумме площадей его четырех граней. Площадь одной грани (равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, полная площадь поверхности тетраэдра равна:$S = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Чтобы выразить площадь поверхности через радиус $R$ описанного шара, необходимо найти соотношение между длиной ребра $a$ и радиусом $R$.

Центр шара, описанного около правильного тетраэдра, совпадает с центром (центроидом) тетраэдра. Пусть $H$ — высота тетраэдра. Основание высоты тетраэдра является центром грани, на которую она опущена. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $a$ (гипотенуза), высотой тетраэдра $H$ (катет) и радиусом окружности, описанной около основания $r_{осн}$ (второй катет).

Радиус окружности, описанной около основания (равностороннего треугольника со стороной $a$), равен $r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора найдем высоту тетраэдра $H$:$H^2 + r_{осн}^2 = a^2$$H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2$$H^2 + \frac{a^2}{3} = a^2$$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Центр описанного шара делит высоту тетраэдра в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанного шара $R$ равен большей части высоты:$R = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Из этого соотношения выразим сторону тетраэдра $a$ через радиус $R$:$a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$.

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в формулу для площади поверхности тетраэдра:$S = a^2\sqrt{3} = \left(\frac{2R\sqrt{6}}{3}\right)^2 \sqrt{3} = \frac{4R^2 \cdot 6}{9} \sqrt{3} = \frac{24R^2}{9}\sqrt{3} = \frac{8R^2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2$.