Номер 57, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 57, страница 164.

Условие.

21.57. Что является геометрическим местом центров сфер, касающихся данной прямой в данной точке?

Решение 1.

Решение 3.

21.57.

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$ на этой прямой ($M \in l$). Мы ищем геометрическое место центров $O$ всех сфер, которые касаются прямой $l$ в точке $M$.

По определению касания сферы и прямой, радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной прямой. В нашем случае это означает, что отрезок $OM$ (где $O$ — центр сферы, а $M$ — точка касания) должен быть перпендикулярен прямой $l$.

Множество всех точек $O$ в пространстве, для которых отрезок $OM$ перпендикулярен прямой $l$, образует плоскость, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $l$.

Однако, центр сферы $O$ не может совпадать с точкой касания $M$. Если бы точка $O$ совпала с точкой $M$, то радиус сферы $R = |OM|$ был бы равен нулю. Такая сфера является вырожденной (представляет собой точку), а в задаче, как правило, подразумеваются сферы с положительным радиусом. Следовательно, точку $M$ необходимо исключить из искомого геометрического места точек.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это плоскость, проходящая через данную точку касания перпендикулярно данной прямой, за исключением самой точки касания.

Ответ: Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку касания, за исключением самой этой точки.