Номер 55, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 55, страница 164.

Условие.

21.55. Прямая $a$ проходит через начало координат и точку $A$ (1; 2; 3). Найдите координаты точек пересечения прямой $a$ и сферы $x^2+y^2+z^2=56$.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой и сферы, необходимо сначала составить параметрические уравнения прямой, а затем подставить их в уравнение сферы.

1. Составление параметрических уравнений прямой a.
Прямая a проходит через начало координат O(0; 0; 0) и точку A(1; 2; 3). Направляющим вектором прямой может служить вектор $\vec{OA}$.

Найдем координаты направляющего вектора $\vec{v} = \vec{OA}$: $$ \vec{v} = (1-0; 2-0; 3-0) = (1; 2; 3) $$

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $\vec{v}=(l; m; n)$, имеют вид: $$ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} $$ В нашем случае, используя точку O(0; 0; 0) в качестве $(x_0; y_0; z_0)$ и вектор $\vec{v}=(1; 2; 3)$, получаем: $$ \begin{cases} x = 0 + 1 \cdot t = t \\ y = 0 + 2 \cdot t = 2t \\ z = 0 + 3 \cdot t = 3t \end{cases} $$ где $t$ – параметр.

2. Нахождение точек пересечения.
Уравнение сферы дано как $x^2 + y^2 + z^2 = 56$.
Чтобы найти точки пересечения, подставим выражения для $x$, $y$ и $z$ из уравнений прямой в уравнение сферы: $$ (t)^2 + (2t)^2 + (3t)^2 = 56 $$

Решим полученное уравнение относительно $t$: $$ t^2 + 4t^2 + 9t^2 = 56 $$ $$ 14t^2 = 56 $$ $$ t^2 = \frac{56}{14} $$ $$ t^2 = 4 $$ Отсюда получаем два значения параметра: $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

3. Вычисление координат точек.
Каждое значение параметра $t$ соответствует одной точке пересечения. Найдем их координаты, подставив значения $t$ в параметрические уравнения прямой.

Для $t_1 = 2$: $$ \begin{cases} x_1 = 2 \\ y_1 = 2 \cdot 2 = 4 \\ z_1 = 3 \cdot 2 = 6 \end{cases} $$ Первая точка пересечения имеет координаты $(2; 4; 6)$.

Для $t_2 = -2$: $$ \begin{cases} x_2 = -2 \\ y_2 = 2 \cdot (-2) = -4 \\ z_2 = 3 \cdot (-2) = -6 \end{cases} $$ Вторая точка пересечения имеет координаты $(-2; -4; -6)$.

Ответ: $(2; 4; 6)$ и $(-2; -4; -6)$.