Номер 51, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 51, страница 163.

Условие.

21.51. Стороны основания треугольной пирамиды равны 19 см, 20 см и 37 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах её основания равны $45^{\circ}$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = R \cdot H$.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в треугольник-основание пирамиды, а его вершина и высота совпадают с вершиной и высотой пирамиды.

Условие о том, что все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса (R)

Радиус $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник основания. Стороны треугольника равны $a = 19$ см, $b = 20$ см, $c = 37$ см.Сначала найдем полупериметр $p$ треугольника:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{19+20+37}{2} = \frac{76}{2} = 38$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$ по формуле Герона:$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{38(38-19)(38-20)(38-37)}$$S_{осн} = \sqrt{38 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 1} = \sqrt{(2 \cdot 19) \cdot 19 \cdot (2 \cdot 9)} = \sqrt{19^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 19 \cdot 2 \cdot 3 = 114$ см².

Радиус вписанной окружности $R$ находим по формуле:$R = r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{114}{38} = 3$ см.

2. Найдем высоту конуса (H)

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами. Угол между апофемой и радиусом $R$ (проведенным к точке касания) является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $45^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$.

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:$1 = \frac{H}{R} \implies H = R$.Так как $R = 3$ см, то высота $H$ также равна $3$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса

Теперь мы можем вычислить искомую площадь, подставив найденные значения $R$ и $H$ в формулу:$S_{сеч} = R \cdot H = 3 \cdot 3 = 9$ см².

Ответ: $9$ см².