Номер 46, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 46, страница 163.

Условие.

21.46. Образующая усечённого конуса равна 29 см, высота – 21 см, а радиусы оснований относятся как 5 : 9. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, боковые стороны — образующим, а высота трапеции — высоте конуса.

Пусть $l$ – образующая конуса, $h$ – его высота, $r$ и $R$ – радиусы меньшего и большего оснований соответственно. По условию задачи имеем:

• $l = 29$ см
• $h = 21$ см
• $r : R = 5 : 9$

Площадь осевого сечения (трапеции) вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания трапеции.

В нашем случае основаниями являются диаметры $2r$ и $2R$. Таким образом, формула для площади осевого сечения:

$S_{сеч} = \frac{2r + 2R}{2} \cdot h = (r + R) \cdot h$

Для нахождения площади нам нужно определить значения радиусов $r$ и $R$.

Из соотношения $r : R = 5 : 9$ введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $r = 5x$ и $R = 9x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой конуса $h$, его образующей $l$ и разностью радиусов оснований $R-r$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим в эту формулу известные значения и выражения для радиусов:

$R - r = 9x - 5x = 4x$

$29^2 = 21^2 + (4x)^2$

$841 = 441 + 16x^2$

$16x^2 = 841 - 441$

$16x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{16} = 25$

$x = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти радиусы оснований:

$r = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см

$R = 9x = 9 \cdot 5 = 45$ см

Наконец, вычисляем площадь осевого сечения:

$S_{сеч} = (r + R) \cdot h = (25 + 45) \cdot 21 = 70 \cdot 21 = 1470$ см$^2$.

Ответ: $1470$ см$^2$.