Номер 40, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 40, страница 162.

Условие.

21.40. Радиус основания и высоту конуса увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилась площадь боковой поверхности конуса?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $r_1$ и $h_1$ — первоначальные радиус основания и высота конуса соответственно.Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.Длина образующей, высота и радиус основания связаны теоремой Пифагора: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.Следовательно, первоначальная площадь боковой поверхности конуса была:$S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi r_1 \sqrt{r_1^2 + h_1^2}$

По условию задачи, радиус основания и высоту конуса увеличили в 2 раза. Обозначим новые параметры как $r_2$ и $h_2$:$r_2 = 2r_1$$h_2 = 2h_1$

Найдем новую длину образующей $l_2$:$l_2 = \sqrt{r_2^2 + h_2^2} = \sqrt{(2r_1)^2 + (2h_1)^2} = \sqrt{4r_1^2 + 4h_1^2} = \sqrt{4(r_1^2 + h_1^2)} = 2\sqrt{r_1^2 + h_1^2} = 2l_1$.Таким образом, длина образующей также увеличилась в 2 раза.

Теперь найдем новую площадь боковой поверхности $S_2$:$S_2 = \pi r_2 l_2 = \pi (2r_1) (2l_1) = 4\pi r_1 l_1 = 4S_1$.

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной:$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4S_1}{S_1} = 4$.Площадь боковой поверхности конуса увеличилась в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.