Номер 39, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 39, страница 162.

Условие.

21.39. Основанием прямой призмы является ромб с тупым углом $\alpha$. Угол между боковым ребром и большей диагональю призмы равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, если её высота равна $h$.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $H$ - его высота.

Поскольку цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы $h$. Основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (ромб). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба ($h_{ромб}$).

Таким образом, $H=h$ и $r = \frac{h_{ромб}}{2}$. Формула для искомой площади принимает вид: $S_{бок} = 2\pi \frac{h_{ромб}}{2} h = \pi h \cdot h_{ромб}$.

Наша задача сводится к нахождению высоты ромба $h_{ромб}$.

1. Найдем большую диагональ ромба ($d_1$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром призмы (катет, равный $h$), большей диагональю основания ($d_1$, второй катет) и большей диагональю призмы (гипотенуза). Боковое ребро в прямой призме перпендикулярно основанию.

Угол между боковым ребром и большей диагональю призмы по условию равен $\beta$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan\beta = \frac{d_1}{h}$

Отсюда выражаем большую диагональ ромба:

$d_1 = h \tan\beta$

2. Найдем высоту ромба ($h_{ромб}$) через его большую диагональ.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его тупой угол равен $\alpha$. Высоту ромба можно выразить через сторону и угол: $h_{ромб} = a \sin\alpha$.

Теперь свяжем сторону ромба $a$ с его большей диагональю $d_1$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза) и половинами его диагоналей (катеты). Большая диагональ $d_1$ лежит против тупого угла $\alpha$. Угол в рассматриваемом прямоугольном треугольнике, противолежащий катету $d_1/2$, равен $\alpha/2$.

Из соотношений в этом треугольнике:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1/2}{a} \implies a = \frac{d_1}{2\sin(\alpha/2)}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу для высоты ромба:

$h_{ромб} = a \sin\alpha = \frac{d_1}{2\sin(\alpha/2)} \sin\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:

$h_{ромб} = \frac{d_1}{2\sin(\alpha/2)} \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = d_1 \cos(\frac{\alpha}{2})$

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.

Подставим найденное выражение для $h_{ромб}$ в формулу для площади:

$S_{бок} = \pi h \cdot h_{ромб} = \pi h \left(d_1 \cos(\frac{\alpha}{2})\right)$

Теперь подставим выражение для $d_1 = h \tan\beta$:

$S_{бок} = \pi h \left( (h \tan\beta) \cos(\frac{\alpha}{2}) \right) = \pi h^2 \tan\beta \cos(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $\pi h^2 \tan\beta \cos(\frac{\alpha}{2})$.