Номер 36, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 36, страница 162.

Условие.

21.36. Через образующую $AA_1$ цилиндра проведены сечения $AA_1BB_1$ и $AA_1C_1C$, площади которых равны соответственно $16 \text{ см}^2$ и $21 \text{ см}^2$. Двугранный угол, гранями которого являются полуплоскости $AA_1B$ и $AA_1C$, равен $60^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $BB_1C_1C$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть высота цилиндра (длина образующей $AA_1$) равна $H$.

Сечения $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ проходят через образующую $AA_1$, которая перпендикулярна основаниям. Следовательно, эти сечения являются прямоугольниками. $AB$ и $AC$ — это хорды в основании цилиндра.

Площадь прямоугольника $AA_1B_1B$ равна $S_1 = AA_1 \cdot AB$. По условию $S_1 = 16 \text{ см}^2$, откуда получаем:

$H \cdot AB = 16 \implies AB = \frac{16}{H}$

Площадь прямоугольника $AA_1C_1C$ равна $S_2 = AA_1 \cdot AC$. По условию $S_2 = 21 \text{ см}^2$, откуда получаем:

$H \cdot AC = 21 \implies AC = \frac{21}{H}$

Двугранный угол, гранями которого являются полуплоскости $AA_1B$ и $AA_1C$, измеряется линейным углом, образованным лучами, перпендикулярными ребру двугранного угла $AA_1$. Так как плоскость основания цилиндра перпендикулярна образующей $AA_1$, то линейным углом этого двугранного угла будет угол $\angle BAC$ между хордами $AB$ и $AC$ в основании. По условию, $\angle BAC = 60^\circ$.

Четырёхугольник $BB_1C_1C$ образован двумя образующими $BB_1$ и $CC_1$ и хордами $BC$ и $B_1C_1$. Так как все образующие цилиндра параллельны и равны, $BB_1 \parallel CC_1$ и $BB_1 = CC_1 = H$. Следовательно, $BB_1C_1C$ — параллелограмм. Поскольку образующая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна и хорде $BC$, лежащей в этой плоскости. Значит, $BB_1C_1C$ — прямоугольник, и его площадь равна $S_{BB_1C_1C} = BB_1 \cdot BC = H \cdot BC$.

Для нахождения площади нам нужно найти длину хорды $BC$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании цилиндра. Мы знаем длины двух сторон ($AB$ и $AC$) и угол между ними ($\angle BAC$). Применим теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные выражения для $AB$ и $AC$, а также значение угла:

$BC^2 = \left(\frac{16}{H}\right)^2 + \left(\frac{21}{H}\right)^2 - 2 \cdot \frac{16}{H} \cdot \frac{21}{H} \cdot \cos(60^\circ)$

Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:

$BC^2 = \frac{256}{H^2} + \frac{441}{H^2} - 2 \cdot \frac{336}{H^2} \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = \frac{256 + 441 - 336}{H^2}$

$BC^2 = \frac{361}{H^2}$

Отсюда находим длину $BC$:

$BC = \sqrt{\frac{361}{H^2}} = \frac{19}{H}$

Теперь мы можем вычислить площадь искомого четырехугольника $BB_1C_1C$:

$S_{BB_1C_1C} = H \cdot BC = H \cdot \frac{19}{H} = 19 \text{ см}^2$

Ответ: $19 \text{ см}^2$.