Номер 43, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 43, страница 163.

Условие.

21.43. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу $60^\circ$, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Найдите площадь образовавшегося сечения, если радиус основания конуса равен $4$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина конуса, а $O$ — центр его основания. Радиус основания $R = 4$ см. Сечение, о котором идет речь, представляет собой треугольник $\triangle SAB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания, а $AB$ — хорда.

Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью его ортогональной проекции на плоскость основания $S_{пр}$ формулой:$S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\alpha = 30°$.

Ортогональной проекцией вершины конуса $S$ на плоскость основания является центр основания $O$. Точки $A$ и $B$ уже лежат в плоскости основания, поэтому их проекции совпадают с ними самими. Таким образом, проекцией сечения $\triangle SAB$ на плоскость основания является треугольник $\triangle OAB$.

Найдем площадь треугольника $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, поэтому $OA = OB = R = 4$ см. Хорда $AB$ стягивает дугу в $60°$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60°$.Треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с углом при вершине $60°$, а значит, он равносторонний. Все его стороны равны 4 см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.В нашем случае $a = 4$ см, поэтому площадь проекции равна:$S_{пр} = S_{\triangle OAB} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч} = S_{\triangle SAB}$, используя формулу для проекции:$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)} = \frac{S_{\triangle OAB}}{\cos(30°)}$.Мы знаем, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения:$S_{сеч} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см².

Ответ: 8 см².