Номер 50, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 50, страница 163.

Условие.

21.50. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен $60^\circ$, а высота пирамиды – $2\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. В основании лежит квадрат $ABCD$. Высота пирамиды $SO = H = 2\sqrt{2}$ см, где $O$ - центр основания. Плоский угол при вершине, то есть угол в боковой грани при вершине пирамиды, равен $60^\circ$, например, $\angle ASB = 60^\circ$.

Рассмотрим боковую грань пирамиды, $\triangle ASB$. Так как пирамида правильная, ее боковые ребра равны: $SA = SB$. Следовательно, $\triangle ASB$ - равнобедренный. По условию, угол при вершине $\angle ASB = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Значит, все боковые грани пирамиды - равносторонние треугольники. Отсюда следует, что боковое ребро пирамиды равно стороне основания. Обозначим боковое ребро как $b$, а сторону основания как $a$, тогда $a = b$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет ту же вершину $S$ и ту же высоту $H$. Основанием конуса является окружность, описанная около квадрата $ABCD$. Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды $b$, то есть $L = b$. Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около квадрата $ABCD$. Этот радиус равен расстоянию от центра квадрата до его вершины, то есть $R = AO$.

Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$. Таким образом, $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, образованный высотой пирамиды $SO$, боковым ребром $SA$ и радиусом описанной окружности $AO$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + AO^2$, или в наших обозначениях $b^2 = H^2 + R^2$.

Используя найденные соотношения $a=b$ и $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, выразим $R$ через $b$: $R = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это выражение и известное значение высоты $H=2\sqrt{2}$ в уравнение теоремы Пифагора:
$b^2 = (2\sqrt{2})^2 + \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$b^2 = 8 + \frac{b^2 \cdot 2}{4}$
$b^2 = 8 + \frac{b^2}{2}$
$b^2 - \frac{b^2}{2} = 8$
$\frac{b^2}{2} = 8$
$b^2 = 16$
$b = 4$ см.

Теперь найдем параметры конуса:
Образующая $L = b = 4$ см.
Радиус основания $R = \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.
Подставим найденные значения $R$ и $L$:
$S_{бок} = \pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $8\pi\sqrt{2}$ см².