Номер 49, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 49, страница 163.

Условие.

21.49. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Конус, описанный около правильной шестиугольной пирамиды, имеет общую с ней вершину, а его основанием является круг, описанный около основания пирамиды. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D=2R$, а высота равна высоте конуса $H$. Площадь этого сечения $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Таким образом,

$R = a$

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ описанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (катет) и боковым ребром пирамиды (гипотенуза). В этом треугольнике угол между боковым ребром и радиусом-проекцией равен $\alpha$.

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = R \cdot \tan(\alpha)$

Подставив значение $R=a$, получим:

$H = a \cdot \tan(\alpha)$

3. Вычислим площадь осевого сечения.
Теперь, зная $R$ и $H$, мы можем найти площадь осевого сечения конуса:

$S = R \cdot H = a \cdot (a \cdot \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$

Ответ: $a^2 \tan(\alpha)$.