Номер 56, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 56, страница 164.

Условие.

21.56. Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости $4x - 3y + 5z + 2 = 0$ и пересекающей сферу $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = R^2$ по большой окружности.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, искомая плоскость параллельна плоскости $4x - 3y + 5z + 2 = 0$. Параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Нормальный вектор данной плоскости равен $\vec{n} = (4; -3; 5)$. Следовательно, уравнение искомой плоскости будет иметь вид:

$4x - 3y + 5z + D = 0$, где $D$ – некоторый коэффициент, который нам предстоит найти.

Также по условию, искомая плоскость пересекает сферу $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = R^2$ по большой окружности. Пересечение сферы плоскостью является большой окружностью тогда и только тогда, когда эта плоскость проходит через центр сферы.

Из уравнения сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ находим координаты её центра $C(x_0; y_0; z_0)$. В нашем случае центр сферы находится в точке $C(1; 2; -3)$.

Поскольку искомая плоскость должна проходить через центр сферы, координаты точки $C$ должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставим координаты точки $C(1; 2; -3)$ в уравнение $4x - 3y + 5z + D = 0$, чтобы найти значение $D$:

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + D = 0$

$4 - 6 - 15 + D = 0$

$-17 + D = 0$

$D = 17$

Таким образом, подставив найденное значение $D$ в уравнение плоскости, получаем искомое уравнение.

Ответ: $4x - 3y + 5z + 17 = 0$