Номер 52, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 52, страница 163.

Условие.

21.52. Основанием пирамиды является ромб с диагоналями 40 см и 30 см, высота пирамиды равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – его образующая. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить значения $r$ и $l$.

По условию, конус вписан в пирамиду. Это означает, что их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Высота конуса равна высоте пирамиды, то есть $h = 5$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Найдем его, используя данные о диагоналях ромба $d_1 = 40$ см и $d_2 = 30$ см.

1. Сначала найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, в которых катеты — это половины диагоналей ($d_1/2 = 20$ см и $d_2/2 = 15$ см), а гипотенуза — сторона ромба. По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба можно вычислить через диагонали:
$S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см².
Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда найдем высоту ромба:
$h_{ромба} = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{600}{25} = 24$ см.
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине его высоты:
$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

3. Далее найдем образующую конуса $l$. Высота конуса $h = 5$ см, радиус его основания $r = 12$ см и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

4. Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156\pi$ см².

Ответ: $156\pi$ см².