Номер 47, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 47, страница 163.

Условие.

21.47. Ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его большей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим ромб как $ABCD$, где $A$ и $C$ — вершины с острыми углами $60^\circ$, а $B$ и $D$ — вершины с тупыми углами. Сторона ромба $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см.

Так как острый угол ромба равен $60^\circ$, ромб состоит из двух равносторонних треугольников ($ABD$ и $CBD$), соединенных по общей стороне $BD$. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне: $d_1 = BD = 1$ см.

Большая диагональ $AC$ соединяет вершины острых углов. Её длину $d_2 = AC$ можно найти из прямоугольного треугольника $AOB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей. Угол $\angle BAO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Катет $AO$ равен $AO = AB \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, вся большая диагональ $d_2 = AC = 2 \cdot AO = \sqrt{3}$ см.

Ось вращения проходит через вершину острого угла (пусть это будет вершина $A$) перпендикулярно большей диагонали $AC$. Для удобства вычислений разместим ромб в декартовой системе координат. Пусть центр ромба $O$ находится в начале координат $(0,0)$. Большую диагональ $AC$ расположим на оси $Ox$, а меньшую $BD$ — на оси $Oy$. Тогда координаты вершин будут: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B(0, \frac{1}{2})$, $D(0, -\frac{1}{2})$.

Ось вращения проходит через точку $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и перпендикулярна оси $Ox$ (на которой лежит диагональ $AC$). Следовательно, ось вращения — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поверхность тела вращения образуется при вращении сторон ромба $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ вокруг этой оси.

1. Вращение сторон $AB$ и $AD$. Поскольку точка $A$ лежит на оси вращения, при вращении отрезков $AB$ и $AD$ образуются боковые поверхности двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке $A$. Образующая каждого конуса равна стороне ромба $l = AB = AD = 1$ см. Радиус основания каждого конуса равен расстоянию от точек $B$ и $D$ до оси вращения $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для точки $B(0, \frac{1}{2})$ радиус $r_B = |0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Площадь боковой поверхности одного конуса, образованного вращением $AB$, вычисляется по формуле $S_{конуса} = \pi r l$: $S_{AB} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$. Поверхность, образованная вращением $AD$, идентична: $S_{AD} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Вращение сторон $BC$ и $CD$. При вращении отрезков $BC$ и $CD$ образуются боковые поверхности двух одинаковых усеченных конусов. Образующая каждого усеченного конуса равна стороне ромба $l = BC = CD = 1$ см. Радиусы оснований усеченных конусов равны расстояниям от вершин $B$, $D$ и $C$ до оси вращения. Радиус меньшего основания (от точек $B$ и $D$): $r_{1} = r_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Радиус большего основания (от точки $C(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$): $r_{2} = r_C = |\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})| = \sqrt{3}$. Площадь боковой поверхности одного усеченного конуса, образованного вращением $BC$, вычисляется по формуле $S_{ус.конуса} = \pi (r_1 + r_2) l$: $S_{BC} = \pi (\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}) \cdot 1 = \pi \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$. Поверхность, образованная вращением $CD$, идентична: $S_{CD} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением всех четырех сторон ромба: $S_{общ} = S_{AB} + S_{AD} + S_{BC} + S_{CD} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + 3\pi\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $4\pi\sqrt{3}$ см$^2$.