Номер 45, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 45, страница 163.

Условие.

21.45. Диагональ осевого сечения усечённого конуса образует с плоскостью его основания угол 30°, а радиусы оснований равны 2 см и 13 см.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

По условию задачи, радиусы оснований равны $R = 13$ см и $r = 2$ см. Для нахождения площади необходимо найти длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию $ABCD$, где основания $AD$ и $BC$ являются диаметрами оснований конуса, а боковые стороны $AB$ и $CD$ — его образующими.

$AD = 2R = 2 \cdot 13 = 26$ см.

$BC = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Диагональ осевого сечения, например $AC$, образует с плоскостью нижнего основания угол $30°$. В плоскости сечения это угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$, то есть $\angle CAD = 30°$.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $HD$ вычисляется как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{26 - 4}{2} = 11$ см.

Тогда длина отрезка $AH$ равна:

$AH = AD - HD = 26 - 11 = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $CH$ является высотой усечённого конуса $H$. Найдём его через тангенс угла $\angle CAD$:

$H = CH = AH \cdot \tan(30°) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Его гипотенуза $CD$ является образующей $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = CH^2 + HD^2$

$l^2 = (5\sqrt{3})^2 + 11^2 = 75 + 121 = 196$

$l = \sqrt{196} = 14$ см.

Теперь, когда все величины известны, вычисляем площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(13+2) \cdot 14 = \pi \cdot 15 \cdot 14 = 210\pi$.

Ответ: $210\pi$ см².