Номер 42, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 42, страница 162.

Условие.

21.42. Наибольший угол между двумя образующими конуса равен $120^\circ$. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $90^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим длину образующей конуса как $l$, а радиус его основания как $R$.

Наибольший угол между двумя образующими конуса — это угол при вершине в осевом сечении конуса. По условию, этот угол равен $120^\circ$. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $l$, и углом между ними $120^\circ$. Угол между образующей и осью конуса равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, его радиусом и образующей. В этом треугольнике радиус $R$ является катетом, противолежащим углу в $60^\circ$ (углу между осью и образующей). Следовательно, между $R$ и $l$ существует соотношение: $R = l \cdot \sin(60^\circ) = l \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Далее, по условию, через две образующие, угол между которыми равен $90^\circ$, проведена плоскость. Пусть $S$ — вершина конуса, а $SA$ и $SB$ — эти образующие. Тогда $\angle ASB = 90^\circ$. Сечением является равнобедренный прямоугольный треугольник $SAB$, так как $SA = SB = l$.

Сторона $AB$ этого треугольника является хордой основания конуса, и по условию ее длина равна 6 см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $SAB$: $SA^2 + SB^2 = AB^2$ $l^2 + l^2 = 6^2$ $2l^2 = 36$ $l^2 = 18$ $l = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная длину образующей $l$, мы можем найти радиус основания $R$, используя найденное ранее соотношение: $R = l \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = \pi R l$. Подставим найденные значения $R$ и $l$: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} \cdot 3\sqrt{2}$ $S_{\text{бок}} = \frac{9\pi\sqrt{12}}{2}$ $S_{\text{бок}} = \frac{9\pi\sqrt{4 \cdot 3}}{2}$ $S_{\text{бок}} = \frac{9\pi \cdot 2\sqrt{3}}{2}$ $S_{\text{бок}} = 9\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $9\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$.