Номер 41, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 41, страница 162.

Условие.

21.41. Радиус основания конуса увеличили в 6 раз, а его образующую уменьшили в 3 раза. Как изменилась площадь боковой поверхности конуса, уменьшилась или увеличилась, и во сколько раз?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – это радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Обозначим первоначальные радиус и образующую как $R_1$ и $L_1$ соответственно. Тогда первоначальная площадь боковой поверхности $S_1$ равна: $S_1 = \pi R_1 L_1$

По условию задачи, радиус основания увеличили в 6 раз, а образующую уменьшили в 3 раза. Новые значения радиуса ($R_2$) и образующей ($L_2$) будут: $R_2 = 6 R_1$ $L_2 = \frac{L_1}{3}$

Теперь найдем новую площадь боковой поверхности $S_2$ с новыми параметрами: $S_2 = \pi R_2 L_2 = \pi (6 R_1) \left(\frac{L_1}{3}\right)$

Упростим это выражение: $S_2 = \frac{6}{3} \pi R_1 L_1 = 2 \pi R_1 L_1$

Чтобы понять, как изменилась площадь, сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$. Найдем их отношение: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{2 \pi R_1 L_1}{\pi R_1 L_1} = 2$

Из этого следует, что $S_2 = 2 S_1$. Так как отношение равно 2 (число больше 1), площадь боковой поверхности увеличилась в 2 раза.

Ответ: площадь боковой поверхности конуса увеличилась в 2 раза.